模型预估打分对运筹跟踪的影响
在uplift建模中，模型离线指标(QINI、AUUC)提升并不意味着在线A/B实验的收益，因为在线运筹还需要$\lambda$约束。如果模型打分不满足单调增且roi边际递减，那么$\lambda$运筹求解会非常不稳定，导致线上发券偏高，毛利无法兜住。
下面用 两个数值化示例 直观对比：
示例 1：$p_i$ 单调增但不满足边际递减 ⇒ $\lambda$ 搜索不稳定
样本数：5
成本：全部 $c_i=1$
预算：$B=3$
打分 $p_i$（严格单调增，但 $\Delta p_i$ = $p_i - p_{i-1}$ 不递减／有重复）：
| i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| $p_i$ | 0.10 | 0.20 | 0.40 | 0.40 | 0.50 |
| $\Delta p_i$ | — | 0.10 | 0.20 | 0.00 | 0.10 |
- 阈值集 $\{p_i/c_i\}=\{0.10,0.20,0.40,0.40,0.50\}$。
- 当 $\lambda$ 越过 0.40 时，会同时将样本 3、4 都剔除，令选中数 $C(\lambda)$ 从 3 直接跳到 1，形成大阶梯。
二分搜索行为：
- 在 $[0.20,0.40)$ 内，任意 mid 都命中 $C=3$，算法只能不断逼近 0.40，永远无法见到$C<3$的分支判定，也就卡在边界来回，无法稳定收敛到唯一解。
示例 2：$p_i$ 单调增且满足边际递减 ⇒ $\lambda$ 搜索稳定
样本数：5
成本：全部 $c_i=1$
预算：$B=3$
打分 $p_i$（严格单调增 且 $\Delta p_i$ 递减）：
| $i$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| $p_i$ | 0.10 | 0.18 | 0.24 | 0.28 | 0.30 |
| $\Delta p_i$ | — | 0.08 | 0.06 | 0.04 | 0.02 |
- 阈值集 $\{0.10,0.18,0.24,0.28,0.30\}$，且每次跨过一个阈值，只会剔除一个样本。
二分搜索行为：
- 目标：$C(\lambda)=3$。
- 初始区间 $[0.10,0.30]$，mid=0.20 → $C(0.20)=3$ → 收缩右端 → $[0.10,0.20]$。
- mid=0.15 → $C=4>3$ → 收缩右端 → $[0.10,0.15]$。
- … 依次剔除第2号、第3号样本，每次跨过一个阈值，$C$ 变化为 4→3→2…，二分能稳定地一步步逼近恰好使 $C=3$ 的 $\lambda$。
核心对比
| 条件 | 阶梯跳变 | 二分稳定性 |
|---|---|---|
| 示例1：边际不递减或重复值 | 大阶梯（一次掉多个） | 卡在大跳点来回 |
| 示例2：边际严格递减 | 小阶梯（一次掉一个） | 逐次逼近，稳定收敛 |
- 只有当每次 $\lambda$ 触碰一个阈值，就只影响一个样本时，累积成本 $C(\lambda)$ 曲线才近似“单调平滑”，二分才能一步步稳定逼近目标预算。
- 如果一次跨越多个阈值（示例1），或阈值间距极小/重复（前例），则会出现“跳变过大”或“可行区间过窄”，导致二分收敛失灵或来回摆动。