对数正态分布LogNormal

如果$\ln X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$，那么$X$服从对数正态分布，它的PDF是：$\frac{1}{x \sigma \sqrt{2\pi}} \exp \left( -\frac{(\ln x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right)$

图例

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm, lognorm

# 设置参数
mu = 0.0# 正态分布的均值
sigma = 0.5 # 正态分布的标准差

# 生成x轴数据
x_normal = np.linspace(-3, 3, 500)# 正态分布定义域：实数范围
x_lognormal = np.linspace(0.01, 5, 500) # 对数正态定义域：x > 0

# 计算PDF
pdf_normal = norm.pdf(x_normal, mu, sigma) # 正态分布PDF
pdf_lognormal = lognorm.pdf(x_lognormal, s=sigma, scale=np.exp(mu))# 对数正态PDF

# 绘制图形
plt.figure(figsize=(12, 5))

# 子图1：正态分布
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(x_normal, pdf_normal, 'b-', lw=2, label=f'N(μ={mu}, σ={sigma})')
plt.title('Normal Distribution PDF')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('Probability Density')
plt.legend()
plt.grid(True)

# 子图2：对数正态分布
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(x_lognormal, pdf_lognormal, 'r-', lw=2, label=f'Log-N(μ={mu}, σ={sigma})')
plt.title('Log-Normal Distribution PDF')
plt.xlabel('x (x > 0)')
plt.ylabel('Probability Density')
plt.legend()
plt.grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()

公式推导

关键在于理解概率密度变换（Probability Density Transformation）的数学原理。重点解释为什么分母是$x$而不是$\ln x$。

核心问题

已知$\ln X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$，即$Y = \ln X$服从正态分布，其概率密度函数（PDF）为：

$$f_Y(y) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp \left( -\frac{(y - \mu)^2}{2\sigma^2} \right), \quad y \in \mathbb{R}$$

但我们需要的是$X = e^Y$的分布，即$X$的PDF$f_X(x)$。

概率密度变换的推导

从$Y$到$X$的变换是一个非线性变换（ $X = e^Y$ ），因此需要用到 变量替换定理（Change of Variables Theorem）。具体步骤如下：

1. 变换关系

$Y = \ln X$ ，即$X = e^Y$。变换的雅可比行列式（Jacobian）为：

$$\left|\frac{d y}{d x}\right|=\frac{1}{x} \quad(\text { 因为 } y=\ln x \Longrightarrow d y / d x=1 / x)$$

1. PDF变换公式

对于单调变换$X = g(Y)$，概率密度满足：

$$f_X(x) = f_Y(y) \cdot \left|\frac{dy}{dx} \right|$$

将$y = \ln x$和雅可比行列式代入：

$$f_X(x) = f_Y(\ln x) \cdot \frac{1}{x}$$

1. 代入正态分布PDF

将 $f_Y(y)$ 的表达式代入：

$$f_X(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp \left( -\frac{(\ln x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right) \cdot \frac{1}{x}$$

合并后即得到对数正态分布的PDF：

$$f_X(x) = \frac{1}{x \sigma \sqrt{2\pi}} \exp \left( -\frac{(\ln x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right), \quad x > 0$$

为什么分母是$x$而不是$\ln x$？

关键原因：分母的$x$来自 雅可比行列式$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$，它是对数变换$Y = \ln X$的导数。

如果强行改为$\ln x$，会破坏概率密度的积分性质（即 $\int f_X(x) dx = 1$），导致分布不合法。

物理意义：$x$是原始变量，而$\ln x$是变换后的变量。PDF必须反映原始变量的概率密度，因此需要乘以$\frac{1}{x}$来修正缩放比例。

验证积分是否为1

可以验证$f_X(x)$的积分：

$$\int_0^\infty \frac{1}{x \sigma \sqrt{2\pi}} \exp \left( -\frac{(\ln x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right) dx = 1$$

通过变量替换$u = \ln x ， du = \frac{1}{x} dx$ ，积分变为：

$$\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-(u - \mu)^2 / 2\sigma^2} du = 1$$

这正是标准正态分布的积分性质。

总结

分母的$x$是数学推导的必然结果，源于概率密度变换的雅可比行列式。它保证了$f_X(x)$是一个合法的概率密度函数（积分为1）。若替换为$\ln x$，会破坏分布的正确性。