运筹求解的最优点选择

上一节讲述了线上运筹发放红包的流程，但在实践中发现发券分布异常极端，倾向于发在两端，即要么最小面额（占绝大多数），要么最大面额。如果长期按照这种分布发放，将会极大影响用户核销体验以及平台订单的持久增长。

上述问题迫使我们思考，除了满足预算约束外，我们的量价模型还应该具备哪些能力？

美团的论文给出了答案：量价模型预估的核销率需满足单调递增和边际递减。

以下图为例进行证明：

单调递增性

利用反证法，假设最优发放点$(C_d, P_d)$是单调减的。

根据单调减可得：

$$\frac{P_d - P_c}{C_d - C_c} < 0$$

根据最优发放可得：

$$P_d - \lambda C_d > P_c - \lambda C_c \\ \frac{P_d - P_c}{C_d - C_c} > \lambda > 0$$

两者矛盾，所以最优发放点在单调增的曲线上。

边际递减

利用反证法，假设最优发放点$(C_d, P_d)$是边际递增的。

根据边际增可得：

$$\frac{P_b - P_a}{C_b - C_a} < \frac{P_c - P_b}{C_c - C_b}$$

根据最优发放可得：

$$P_b - \lambda C_b > P_a - \lambda C_a \\ P_b - \lambda C_b > P_c - \lambda C_c \\ \frac{P_b - P_a}{C_b - C_a} > \lambda \\ \frac{P_c - P_b}{C_c - C_b} < \lambda \\ \frac{P_b - P_a}{C_b - C_a} > \frac{P_c - P_b}{C_c - C_b}$$

两者矛盾，所以最优发放点在边际递减的曲线上。

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参考

• A Multi-stage Framework for Online Bonus Allocation Based on Constrained User Intent Detection