常见的相似性度量方法

有如下几种计算相似性方法：

点积相似度

$$\begin{aligned} X \cdot Y &= |X||Y|cos\theta \\ &= \sum_{i=1}^n x_i * y_i \end{aligned}$$

向量内积的结果是没有界限的，解决办法就是先归一化再相乘，就是下面的余弦相似度了。

余弦相似度

$$X \cdot Y = \frac{\sum_{i=1}^n x_i * y_i}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i)^2} * \sqrt{\sum_{i=1}^n (y_i)^2}}$$

余弦相似度衡量两个向量在方向上的相似性，并不关注两个向量的实际长度，即对绝对数据不敏感。

示例

用户对内容评分，5分制。A和B两个用户对两个商品的评分分别为A：(1,2)和B：(4,5)。使用余弦相似度得出的结果是0.98，看起来两者极为相似，但从评分上看A不喜欢这两个东西，而B比较喜欢。造成这个现象的原因就在于，余弦相似度没法衡量每个维数值的差异，对数值的不敏感导致了结果的误差。
需要修正这种不合理性，就出现了调整余弦相似度，即所有维度上的数值都减去一个均值。
比如A和B对两部电影评分的均值分别是(1+4)/2=2.5,(2+5)/2=3.5。那么调整后为A和B的评分分别是：(-1.5,-1.5)和(1.5,2.5)，再用余弦相似度计算，得到-0.98，相似度为负值，显然更加符合现实。

注：为什么是在所有用户对同一物品的打分上求均值，每个人打分标准不一，对所有用户求均值，等于是所有用户的打分映射到了同一空间内。上述是在计算两个用户的相似度，以此类推计算两个物品的相似度，就要计算所有物品的均值了。

修正的余弦相似度可以说就是对余弦相似度进行归一化处理的算法，公式如下：

$$s(A, B)=\frac{\sum_{i \in I}\left(R_{A, i}-\bar{R_i}\right)\left(R_{B, i}-\bar{R_i}\right)}{\sqrt{\sum_{i \in I}\left(R_{A, i}-\bar{R_i}\right)^2} \sqrt{\sum_{i \in I}\left(R_{B, i}-\bar{R_i}\right)^2}}$$

$R_{A,i}$ 表示用户A在商品i上的打分，$\bar{R_i}$表示商品i在所有用户上的打分均值。

皮尔逊相关系数

Pearson 相关系数是用来检测两个连续型变量之间线性相关的程度，它解决了余弦相似度会收到向量平移影响的问题。取值范围为 [−1,1]，正值表示正相关，负值表示负相关，绝对值越大表示线性相关程度越高：

$$\begin{aligned} \rho_{\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}} &= \frac{\operatorname{cov}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})}{\sigma_{\boldsymbol{x}} \sigma_{\boldsymbol{y}}} \\ &= \frac{E\left[\left(\boldsymbol{x}-\mu_{\boldsymbol{x}}, \boldsymbol{y}-\mu_{\boldsymbol{y}}\right)\right]}{\sigma_{\boldsymbol{x}} \sigma_{\boldsymbol{y}}} \\ &= \frac{\sum_i\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_i\left(x_i-\bar{x}\right)^2} \sqrt{\sum_i\left(y_i-\bar{y}\right)^2}} \end{aligned}$$

如果把 $x’=x-\bar{x}, y’=y-\bar{y}$ ，那么皮尔逊系数计算的就是 $x’ 和 y’$ 的余弦相似度。

• 皮尔逊相关系数评估的是两个连续型变量的相关性，是两列，比如睡眠与考试成绩的关系
• 余弦相似度评估的是两个向量的相关性，是两行

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参考

• 点积相似度、余弦相似度、欧几里得相似度
• 常用的特征选择方法之 Pearson 相关系数
• 图片向量相似检索服务(2)——四种基本距离计算原理
  • 这篇博客倒是很简洁，适合速读
• 点积相似度、余弦相似度、欧几里得相似度
• 相似性和距离度量 (Similarity & Distance Measurement)